TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

O tensor de energia-momento, também chamado tensor energia-impulso é uma quantidade tensorial em relatividade. Descreve o fluxo de energia e momento e satisfaz a equação de continuidade:

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

A grandeza

${\displaystyle P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x} }$

X

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sobre uma seção de tipo espaço dá o quadrivetor energia-momento ou quadrimomento. Este tensor é a corrente de Noether associada às translações no espaço-tempo. Na relatividade geral, esta grandeza atua como a fonte do curvatura do espaço-tempo, e é a densidade de corrente associada às transformações de gauge (neste caso transformações de coordenadas) pelo teorema de Noether. Ainda que, no espaço-tempo curvado, a integral de tipo espaço depende da seção de tipo espaço, em geral. Não há de fato maneira de definir um vetor global de energia-momento num espaço-tempo curvado em geral.

Tensores relacionados[editar | editar código-fonte]

A parte tridimensional do tensor energia-momento coincide com o tensor tensão da mecânica de meios contínuos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

• Fluido perfeito

${\displaystyle T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }}$

X

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RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM:

Dentro da teoria de Einstein da relatividade geral, a solução de Schwarzschild (ou senão vácuo de Schwarzschild) descreve o campo gravitacional externo a um corpo esférico, porém desprezando qualquer rotação de massa, então podemos considerar uma aproximação para o caso de uma estrela, um planeta ou um buraco negro. Trata-se de uma boa aproximação para campos gravitacionais de corpos de lenta rotação como a Terra ou Sol. Conforme o teorema de Birkhoff, a solução de Schwarzschild é uma generalização para casos de simetria esférica, também uma solução em casos de vácuo para as equações de campo de Einstein.

Um buraco negro de Schwarzschild ou buraco negro estático é nada mais que um buraco negro sem carga elétrica ou momento angular. Um buraco negro de Schwarzschild é tratado através da métrica de Schwarzschild, e não pode ser diferenciado de nenhum outro a não ser pela sua massa.

A solução de Schwarzschild recebeu esse nome em homenagem ao seu descobridor Karl Schwarzschild, que encontrou a solução em 1915, apenas um mês após a publicação da teoria da relatividade geral de Einstein. Foi a primeira solução exata para as equações de campo de Einstein excetuando-se a solução trivial para o espaço plano. Schwarzschild teve pouco tempo para pensar na solução. Ele morreu pouco tempo depois de sua solução ter sido publicada por ter contraído uma doença enquanto servia no exército alemão durante a Primeira Guerra Mundial.

O buraco negro de Schwarzschild é caracterizado por uma área ao seu redor chamada de horizonte de eventos, a qual fica situada sobre o raio de Schwarzschild comumente chamado de raio do buraco negro. Um corpo massivo sem rotação e sem carga elétrica que tiver seu raio menor que o raio de Schwarzschild necessariamente será um buraco negro. Uma solução para as equações de campo de Einstein devem ser válidas para qualquer corpo de massa ${\displaystyle M}$, portanto a princípio o buraco negro de Schwarzschild de qualquer massa poderia existir se a natureza fosse competente o suficiente para formar um.

A métrica de Schwarzschild[editar | editar código-fonte]

Nas coordenadas de Schwarzschild, a métrica poderia ser colocada da seguinte forma:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2},}$

X

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onde ${\displaystyle G}$ corresponde a constante de gravitação universal, ${\displaystyle M}$ é entendida como a massa do objeto e

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\operatorname {sen} ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}\,}$

X

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corresponde a um elemento de ângulo sólido. A constante

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

X

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é entendida como raio de Schwarzschild e desempenha importante função na solução de Schwarzschild.

A métrica de Schwarzschild é na verdade a solução para as equações de campo gravitacional no vácuo, significando portanto ser válida apenas externamente ao corpo em questão. Portanto em um corpo esférico de raio ${\displaystyle R}$ a solução é válida para ${\displaystyle r>R}$. (Apesar de que, se ${\displaystyle R}$ é menor de que o raio de Schwarzschild ${\displaystyle r_{s}}$ então a solução descreve o que seria um buraco negro. Para determinar o campo gravitacional tanto dentro quanto fora do corpo em questão devemos descobrir a solução de Schwarzschild para ${\displaystyle r=R}$.

Se adotarmos ${\displaystyle M\to 0}$ ou ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ recaímos na métrica de Minkowski:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}.\,}$

X

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Intuitivamente essa equação faz sentido, já que quanto mais longe se está de uma massa gravitacional, mais plano vai se tornando o espaço.

Singularidades e buracos negros[editar | editar código-fonte]

A solução de Schwarzschild demonstra ter singularidades para ${\displaystyle r=0}$ e para ${\displaystyle r=r_{s}}$, isso porque alguns dos termos divergem para o infinito para esses valores de raio. Espera-se que a métrica de Schwarzschild seja válida apenas para raios maiores que o raio ${\displaystyle R}$ do corpo em questão, entretanto não há problemas se ${\displaystyle R>r_{s}}$. Este corresponde a um caso comum para estrelas e planetas. Por exemplo, o raio do Sol é de aproximadamente 700.000 km, enquanto seu raio de Schwarzschild é de apenas 3 km.

Um fenômeno muito interessante ocorre quando o raio ${\displaystyle R}$ torna-se menor ou igual ao raio de Schwarzschild ${\displaystyle r_{s}}$. A aparente singularidade para ${\displaystyle r=r_{s}}$ é apenas uma ilusão, é um exemplo de o que é chamado coordenada de singularidade. Como diz o nome, a singularidade provém de uma má escolha de coordenadas, porém escolhendo outras coordenadas de modo mais conveniente, pode-se mostrar que a métrica é sim bem definida para ${\displaystyle r=r_{s}}$. Veja por exemplo, coordenadas Eddington-Finkelstein, coordenadas Kruskal-Szekeres ou coordenadas Novikov.

Para o caso de ${\displaystyle r=0}$ é diferente. Trata-se de fato de uma singularidade física, ou senão singularidade gravitacional que ocorre na origem. Para podermos afirmar que um ponto corresponde a uma singularidade física devemos olhar quantitativamente seus valores em diferentes coordenadas. Um importante modo de quantificar é a invariante Kretschmann, que é dada por:

${\displaystyle R^{abcd}R_{abcd}={\frac {12r_{s}^{2}}{r^{6}}}.}$

X

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Para ${\displaystyle r=0}$ a curvatura torna-se infinita, indicando portanto a presença de uma singularidade. Nesse ponto, simplesmente, o próprio espaço-tempo não é definido. Algum tempo atrás pensava-se até que a solução seria "não física". Entretanto, um bom entendimento a respeito de relatividade geral levou a conclusão de que as singularidades eram uma característica típica da própria teoria e não um caso especial. Agora acredita-se haver soluções para esses casos e eles são chamados de buracos negros.

A solução de Schwarzschild é válida para todo ${\displaystyle r>0}$, é chamada de buraco negro de Schwarzschild. Essa solução é perfeitamente válida para as equações de campo de Einstein, entretanto observamos algumas propriedades bizarras. Para ${\displaystyle r<r_{s}}$ a coordenada radial de Schwarzschild ${\displaystyle r}$ torna-se função do tempo, e o tempo por sua vez torna-se função do espaço. Uma curva sob um ${\displaystyle r}$ constante não é maior que qualquer outro caminho possível nas quatro dimensões que envolvem o espaço-tempo. Isto ocorre porque o espaço-tempo tornou-se curvado demais e a direção do "causa e efeito" aponta para uma singularidade. Na superfície ${\displaystyle r=r_{s}}$ demarca o que é chamado como o horizonte de eventos de um buraco negro. Significa que caso a luz ultrapasse esse horizonte não terá mais a possibilidade de escapar do campo gravitacional. Qualquer objeto físico cujo raio ${\displaystyle R}$ se tornar menor ou igual ao seu raio de Schwarzschild ${\displaystyle r_{s}}$ colapsará e tornar-se-á um buraco negro.

Em matemática, a equação de Poisson é uma equação de derivadas parciais com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, a equação de Poisson é definida por^[1]:

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

X

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onde, ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ é uma função chamada de termo fonte e ${\displaystyle \Delta }$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

${\displaystyle \Delta \varphi :=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}}$

X

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Aqui, a incógnita ${\displaystyle \varphi }$ é uma função de ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ${\displaystyle \nabla ^{2}}$. Esta notação é motivada pelo fato de que ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$, onde ${\displaystyle \nabla }$ denota o gradiente. Quando ${\displaystyle f\equiv 0}$ a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensões[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, a equação de Poisson toma a forma^[2] (em coordenadas cartesianas):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=f(x,y)}$.

X

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Em coordenadas polares ${\displaystyle (r,~\theta )}$, a equação torna-se:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=h(r,\theta )}$,

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Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis ${\displaystyle x=r{\text{cos }}\theta }$, ${\displaystyle y=r{\text{sen }}\theta }$, ${\displaystyle g(r,\theta )=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )}$ e ${\displaystyle h(r,\theta )=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta )}$.

Caso em três dimensões[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

${\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=f(x,y,z)}$.

Em coordenadas cilíndricas ${\displaystyle (\rho ,~\theta ,~z)}$, a equação torna-se:

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial g \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}g \over \partial z^{2}}=h(\rho ,\theta ,z)}$

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis ${\displaystyle x=r{\text{cos }}\theta }$, ${\displaystyle y=r{\text{sen }}\theta }$, ${\displaystyle z=z}$, ${\displaystyle g(r,\theta ,z)=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta ,z)}$ e ${\displaystyle h(r,\theta ,z)=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta ,z)}$.

Em coordenadas esféricas ${\displaystyle (r,\phi ,\theta )}$, a equação toma a forma:

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial g \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \phi }{\partial \over \partial \phi }\left(\sin \phi {\partial g \over \partial \phi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\phi }{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}=h(r,\phi ,\theta )}$.

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Em física, comprimento de Planck, denotado por ℓ_P, é uma unidade de comprimento igual a 1,616199(97) × 10⁻³⁵ m e corresponde à distância que a luz percorre no vácuo durante um tempo de Planck. É unidade básica do Sistema de Unidades de Planck.

O comprimento de Planck pode ser definido a partir de três constantes físicas fundamentais, quais sejam: a velocidade da luz no vácuo c, a constante de Planck e a constante gravitacional.

O comprimento de Planck desempenha uma função importante na física moderna, pois para comprimentos inferiores a este, tanto a mecanica quântica, como a relatividade geral deixam de conseguir descrever os comportamentos de particulas. Espaços inferiores ao comprimento de Planck têm sido alvo de exaustiva investigação na busca de uma teoria unificadora da relatividade com a mecânica quântica.

Valor[editar | editar código-fonte]

O comprimento de Planck ℓ_P é definido como

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 1.616\;229(38)\times 10^{-35}\ \mathrm {m} }$

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onde ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz no vácuo, G é a constante gravitacional e ħ é a constante de Planck reduzida.^[1][2]

O comprimento de Planck é aproximadamente 10⁻²⁰ vezes o diâmetro de um próton.

As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 ^[1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia (${\displaystyle \rho }$) e uma pressão (${\displaystyle p}$) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.^[2]

Pressupostos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

${\displaystyle ds^{2}={a(t)}^{2}ds_{3}^{2}-dt^{2}}$

X

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onde ${\displaystyle \!ds_{3}^{2}}$ é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro ${\displaystyle \!k}$ discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", ${\displaystyle \!a(t)}$.

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações são:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

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${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})}$

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onde ${\displaystyle \Lambda }$ é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz, ${\displaystyle a}$ é o fator de escala do Universo e ${\displaystyle K}$ é a curvatura gaussiana quando ${\displaystyle a=1}$ (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e ${\displaystyle R}$ é o raio de curvatura (${\displaystyle R_{0}}$ no momento atual), então ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. Geralmente, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ é a curvatura gaussiana. Se ${\displaystyle K}$ é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se ${\displaystyle K}$ é zero, o Universo é plano e se ${\displaystyle K}$ é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle p}$ são função de ${\displaystyle a}$. O parâmetro de Hubble, ${\displaystyle H}$, é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

para obter:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})}$

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O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade[editar | editar código-fonte]

O parâmetro de densidade, ${\displaystyle \Omega }$, se define como a relação da densidade atual (ou observada) ${\displaystyle \rho }$ relacionado à densidade crítica ${\displaystyle \rho _{c}}$ do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que ${\displaystyle \Lambda }$ é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura ${\displaystyle K}$ igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$

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E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$

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Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que ${\displaystyle \rho _{c}}$ é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se ${\displaystyle \Omega }$ é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se ${\displaystyle \Omega }$ é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para ${\displaystyle \Omega }$ no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de ${\displaystyle \Omega }$ devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura ${\displaystyle K}$ é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$

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Onde, ${\displaystyle \Omega _{R}}$ é a densidade de radiação atual, ${\displaystyle \Omega _{M}}$ é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada[editar | editar código-fonte]

Estabelecendo ${\displaystyle a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}}$ onde a_0 y H_0 são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

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onde ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2}$. Para qualquer forma do potencial efetivo ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})}$, há uma equação de estado ${\displaystyle p=p(\rho )}$ que a produzirá.